Графические методы решения уравнений. "Показательная функция

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Юрьевская основная общеобразовательная школа

Островский район

Муниципальный этап областного методического конкурса

Номинация

Методическое пособие

Тема

Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры средней школы .

Работу подготовила:

учитель математики

Введение

Анализ школьных учебников

Анализ ЕГЭ

1. Общая теоретическая часть

1.1. Графический метод

1.2. Функциональный метод

2. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих

в них функций

2.1. Использование ОДЗ

2.2. Использование ограниченности функций

2.3. Использование монотонности функции

2.4. Использование графиков функций

2.5. Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.

3. Решение уравнений и неравенств

3.1. Решение уравнений

3.2. Решение неравенств

Практикум

Список литературы

Приложение

Введение

Тема моей работы «Функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в школьном курсе алгебры средней школы». Одна из главных тем курса алгебры средней школы. Решение уравнений и неравенств играют важную роль в курсе математики средней школы. Школьники начинают знакомиться с неравенствами и уравнениями еще в начальной школе.

Содержание тем «Уравнения» и «Неравенства» постепенно углубляются и расширяются. Так, например, процентное содержание неравенств от всего изучаемого материала в 7 классе составляет 20%, в 8 классе – 25%, в 9 классе – 30%, в 10-11 классах – 35%.

Окончательное изучение неравенств и уравнений происходит в курсе алгебры и начала анализа 10-11 классов. Некоторые ВУЗы включают в экзаменационные билеты уравнения и неравенства, которые часто бывают весьма сложными и требующими разных подходов к решению. В школе один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

В центре внимания этой работы лежит обеспечить более полное раскрытие применения функционально – графического метода к решению уравнений и неравенств в средней школе курса алгебры.

Актуальность данной работы в том, что данная тема входить в ЕГЭ.

Готовя данную работу, я ставила цель, рассмотреть как можно больше типов уравнений и неравенств, решаемых функционально - графическим методом. Также более глубоко изучить данную тему, выявление наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу.

Объект исследования – алгебра 10-11 классов под редакцией и варианты ЕГЭ.

В данной работе рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений и неравенств, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ. А также может послужить методическим пособием для подготовки школьников к сдаче ЕГЭ.

Анализ школьных учебников

В методической литературе принято все методы, на которых основана школьная линия уравнений и неравенств с 7 по 11 классы , делить на три группы:

üметод разложения на множители;

üметод введения новых переменных;

üфункционально-графический метод.

Рассмотрим третий метод, а именно, использование графиков функций и различных свойств функций.

К применению функционально-графического метода школьников необходимо приучать с самого начала изучения темы «Уравнения».

Решение некоторых задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности и т. п. входящих в них функций.

Проанализировав учебники, можно сделать вывод, что данная тема рассматривается только в учебниках математики нового поколения , , , Построение курса в этих учебниках осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. В остальных учебниках функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен. Использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. В новых учебниках содержится также достаточное количество заданий этого типа. В учебнике содержатся задания повышенного уровня. Приведена наиболее полная система заданий, систематизированная по каждому свойству функции.

Учебник	«Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеоб-разовательных учреждений,	, «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)		и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений	и др. «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеобразовательных учреждений
Место в курсе	Глава 8 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)	Глава 6 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)	Глава II «Уравнения, неравенства, системы»	Нет отдельно выделенной темы. Но в теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» формулируется теорема о корне, которая используется в дальнейшем изучении	Нет отдельно выделенной темы
	§ §56 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)	§ §27 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)	§ Уравнения (неравенства)вида ; § §12*Нестадартные методы решения уравнений и неравенств (использование областей существования функций, неотрицательности функций, ограниченности, использование свойств sin и cos, использование производной)	Свойство монотонности функции, четности-нечетности (при выводе формул корней тригонометрических уравнений)	Упоминается свойство монотонности при разборе примера в теме «Показательная функция»
Примеры рассматриваемых уравнений и неравенств	(;		Решить уравнение. Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет уравнение?	Решить уравнение

Анализ ЕГЭ (текстов и результатов)

Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим.

Анализ текстов ЕГЭ показал, что задания, при решении которых используются свойства функций, встречаются каждый год.

В 2003 году в заданиях А9 и С2 при решении можно применить свойства функций:

· А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения .

· С2. Найдите все значения p , при которых уравнение не имеет корней.

· В 2004 году – задание В2. Сколько корней имеет уравнение .

· В 2005 году задание С2 (решите уравнение ) выполнили 37% учащихся.

В 2007 при выполнении задания "Решите уравнение" в части В выпускники при решении уравнения рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля..gif" width="81" height="24"> принимает только положительные значения.

Даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя "шаблонные" методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.

Очевидно, что при выполнении приведенных выше заданий хорошо подготовленный выпускник должен был показать не только знание известных методов решения уравнений или преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т. п., то есть показать определенный уровень развития математического мышления.

Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления. Для реализации поставленной цели могут служить элективные курсы.

Действительно, учащиеся общеобразовательных учреждений традиционно знакомятся при изучении математики с графическим методом решения уравнений, неравенств и их систем. Однако в последние годы в содержании обучения математике появляются новые классы уравнений (неравенств) и новые функциональные методы их решения. Тем не менее, содержащиеся в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена (ЕГЭ) задания (так называемые комбинированные уравнения), решения которых требуют применения только функционально-графического метода, вызывают у учащихся затруднения.

1. Общая теоретическая часть

Пусть X и Y - два произвольных численных множества. Элементы этих множеств будем обозначать х и у соответственно и будем называть переменными.

Определение. Числовой функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие (правило, закон), которое каждому х из множества Х сопоставляет одно и только одно значение у из множества Y.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом , а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Введенное понятие числовой функции является частным случаем общего понятия функции как соответствия между элементами двух или более произвольных множеств.

Пусть Х и Y – два произвольных множества.

Определение. Функцией, определенной на множестве Х и принимающей значения во множестве Y, называется соответствие, соотносящее с каждым элементом множества Х один и только один элемент из множества Y.

Определение. Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

С понятием функции связаны два способа решения уравнений: графический и функциональный. Частным случаем функционального метода является метод функциональной , или универсальной подстановки .

Определение. Решить данное уравнение – значит найти множество всех его корней (решений). Множество корней (решений) может быть пустым, конечным или бесконечным. В следующих главах теоретического раздела мы разберем вышеописанные способы решения уравнений, а в разделе «Практикум» покажем их применение в различных ситуациях.

1.1. Графический метод.

На практике для построения графика некоторых функций составляют таблицу значений функции для некоторых значений аргумента, затем наносят соответствующие точки на координатную плоскость и последовательно соединяют их линией. При этом предполагается, что точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Определение. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек

{x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">

Точка пересечения графиков имеет координаты (0,5; 0). Следовательно, х=0,5

Ответ: х=0,5

Пример 2.

10| sinx|=10| cosx|-1

Данное уравнение рационально решать графоаналитическим методом.

Т. к. 10>1, то данное уравнение равносильно следующему:

Точки пересечения графиков имеют координаты ();. Следовательно, х=.

Ответ: х=

1.2. Функциональный метод

Не всякое уравнение вида f(x)=g(x) в результате преобразований может быть приведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого подходят обычные методы решения. В таких случаях имеет смысл использовать такие свойства функций f(x) и g(x) как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций возрастает, а другая убывает на определенном промежутке, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня, который, в принципе, можно найти подбором. Далее, если функция f(x) ограничена сверху, а функция g(x) – снизу так, что f(x)мах =А g(x)м in =A, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений

Также при использовании функционального метода рационально использовать некоторые теоремы, приведенные ниже. Для их доказательства и использования необходимы следующие уравнения общего вида:

(2)

Теорема 1. Корни уравнения (1) являются корнями уравнения (2).

Теорема 2. Если f(x) – возрастающая функция на интервале a

Из последней теоремы вытекают следствие, также используемое в решениях:

Следствие 1 . Если f(x) возрастает на всей своей области определения, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны. Если f(x) убывает на всей своей области определения, n - нечетное, то на данном интервале уравнения (1) и (2) равносильны.

Теорема 3. Если в уравнении f(x)=g(x) при любом допустимом х выполняются условия f(x)≥a, g(x)≤a, где а – некоторое действительное число, то дано уравнение равносильно системе

Следствие 2 . Если в уравнении f(x)+g(x)=a+b при любом допустимом х f(x)≤a, g(x)≤b, то данное уравнение равносильно системе

Функциональный метод решения уравнений часто используется в комбинации с графическим, так как оба эти метода основаны на одних свойствах функций. Иногда комбинацию этих методов называют графоаналитическим методом.

Пример 1.

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, при k=0

Ответ: x=π

1.3. Метод функциональной подстановки

Частным случаем функционального метода является метод функциональной подстановки – самый, пожалуй, распространенный метод решения сложных задач математики. Суть метода состоит в введении новой переменной y=ƒ(x), применение которой приводит к более простому выражению. Отдельным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическое уравнение вида

R(sinkx , cosnx , tgmx , ctglx ) = 0 (3)

где R – рациональная функция, k, n, m, l ÎZ, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов sinx , cosx , tgx , ctgx , после чего уравнение (3) может быть сведено к рациональному уравнению относительно t=tg(x /2) c помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Sinx = cosx =

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Tgx = ctgx =

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

Следует отметить, что применение формул (4) может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку tg(x/2) не определен в точках x=π+2πk, kÎZ, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, kÎZ корнями исходного уравнения.

Пример 1.

sinx +√2-sin²x + sinx √2-sin²x = 3

Пусть теперь r = u+v и s=uv, тогда из системы уравнений следует

Поскольку, u = sinx и u = 1, то sinx = 1 и x = π/2+2πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

Пример 2.

5 sinx -5 tgx

+4(1- cosx )=0

sinx + tgx

Данное уравнении рационально решать методом функциональной подстановки.

Так как tgx не определен при x = π/2+πk, kÎZ , а sinx +tgx =0 при x = πk, kÎZ , то углы x = πk/2, kÎZ не входят в ОДЗ уравнения.

Используем формулы тангенса половинного угла и обозначим t=tg(x /2), при этом по условию задачи t≠0;±1, тогда получим

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Так как t≠0;±1, то данное уравнение равносильно уравнению

5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

откуда t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎZ

Пример 3.

tgx + ctgx + tg² x + ctg² x + tg³ x + ctg³ x =6

Данное уравнение рационально решать методом функциональной подстановки.

Пусть y=tgx +ctgx , тогда tg²x +ctg²x =y²-2, tg³x +ctg³x =y³-3y

Так как tgx +ctgx =2, то tgx +1/ tgx =2. Отсюда следует, что tgx =1 и x = π/4+πk, kÎZ

Ответ: x = π/2+2πk, kÎZ

2. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций

2. 1. Использование ОДЗ.

Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что уравнение (или неравенство) не имеет решений, а иногда позволяет найти решения уравнения (или неравенства) непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям 3-х0 и х-3>0, то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть, что уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

Пример 2. Решить уравнение

(1)

Решение. ОДЗ этого уравнения состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям то есть ОДЗ есть Подставляя эти значения х в уравнение (1), получаем, что его левая и правая части равны 0, а это означает, что все https://pandia.ru/text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

Пример 3. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (2) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющих условиям то есть ОДЗ состоит из двух чисел и . Подставляя в неравенство (2) , получаем, что его левая часть равна 0, правая равна https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" height="23">.gif" width="117 height=41" height="41">.

Ответ: х=1.

Пример 4. Решить неравенство

(3)

Решение. ОДЗ неравенства (3) есть все х, удовлетворяющие условию 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Ответ: 0

Пример 5. Решить неравенство

Решение..gif" width="73" height="19"> и .

Для х из промежутка https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" height="24"> на этом промежутке, и поэтому неравенство (4) не имеет решений на этом промежутке.

Пусть х принадлежит промежутку , тогда и https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> для таких х, и, значит, на этом промежутке неравенство (4) также не имеет решений.

Итак, неравенство (4) решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Замечания.

При решении уравнений необязательно находить ОДЗ. Иногда проще перейти к следствию и проверить найденные корни. При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 6. Решить неравенство

Решение. Отыскание ОДЗ неравенства есть непростая задача, поэтому поступим иначе. Неравенство (5) равносильно системе неравенств

(6)

Третье неравенство этой системы равносильно неравенству , не имеющему решений. Следовательно, система неравенств (6) не имеет решений, значит, и неравенство(5) не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 7. Решить неравенство

. (7)

Решение. Нахождение ОДЗ неравенства (7) есть трудная задача. Поэтому поступим иначе. Неравенство (7) равносильно системе неравенств

(8)

Третье неравенство этой системы имеет решениями все х из промежутка -1

2.2. Использование ограниченности функций.

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Например, если для всех х из некоторого множества М справедливы неравенства f(x)>A и g(x)

Заметим, что роль числа А часто играет нуль, в этом случае говорят о сохранении знака функций f(x) и g(x) на множестве М.

Пример 1. Решить уравнение

Решение..gif" width="191" height="24 src="> Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше двух, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 2. Решить уравнение

(9)

Решение. Очевидно, что х=0, х=1, х=-1 являются решениями уравнения (9)..gif" width="36" height="19">, поскольку если является его решением, то и (-) также является его решением.

Разобьем множество х>0, , на два промежутка (0;1) и (1;+∞).

Перепишем уравнение (9) в виде https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height="25 src=">только положительные. Следовательно, на этом промежутке уравнение (9) не имеет решений.

Пусть х принадлежит промежутку (1;+∞). Для каждого из таких значений х функция принимает положительные значения, функция https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> неположительна. Следовательно, на этом промежутке уравнение (9) не имеет решений.

Если же х>2 , то , а это означает, что и на промежутке (2;+∞) уравнение (9) также не имеет решений.

Итак, х=0,х=1 и х=-1 и только они являются решениями исходного уравнения.

Ответ:

Пример 3. Решить неравенство

Решение. ОДЗ неравенства (10) есть все действительные х, кроме х=-1. Разобьем ОДЗ на три множества: -∞<х<-1, -1

Пусть -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Следовательно, все эти х являются решениями неравенства (10).

Пусть -1, а . Следовательно, ни одно из этих х не является решением неравенства (10).

Пусть 0, а . Следовательно, все эти х являются решениями неравенства (10).

Ответ: -∞<х<-1; 0

Пример 4. Решить уравнение

(11)

Решение. Обозначим через f(x). Из определения абсолютной величины следует, что f(x)= при , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">.gif" width="43" height="41 src=">. Поэтому, если , то уравнение (11) можно переписать в виде , то есть в виде ..gif" width="53" height="41"> удовлетворяют только . Если , то уравнение (11) можно переписать в виде https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Это уравнение имеет решения . Из этих значений х условию удовлетворяют только .

Рассмотрим х из промежутка . На этом промежутке уравнение (11) можно переписать в виде , то есть в виде

Ясно, что х=0 есть решение уравнения (12), а значит, и исходного уравнения..gif" width="39" height="19"> уравнение (12) равносильно уравнению

Для любого значения , функция принимает только положительные значения, поэтому уравнение (12) не имеет решений на множестве .

Ответ: х=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Решение. Пусть есть решение уравнения (13), тогда справедливы равенство (14)

и неравенства https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. Из справедливости неравенств получаем, что левая часть равенства (14) имеет тот же знак, что и , то есть тот же знак, что и , а правая часть – тот же знак, что и . Но так как и удовлетворяют равенству (14), то они имеют одинаковые знаки.

Перепишем равенство (14) в виде

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Перепишем равенство (15) в виде

Так как и имеют одинаковые знаки, то ..gif" width="95" height="24">. (17)

Очевидно, что любое решение уравнения (17) есть решение уравнения (13). Следовательно, уравнение (13) равносильно уравнению (17). Решения уравнения (17) есть , они и только они есть решения уравнения (13).

Ответ:

Замечание. Точно так же, как в примере 5, можно доказать, что уравнение

где n, m – любые натуральные числа, равносильно уравнению , и затем решать это более простое уравнение.

2. 3. Использование монотонности функции.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке L, тогда уравнение f(x)=C, где С – данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке L. Пусть f(x) и g(x) – непрерывные на промежутке L функции, f(x) строго возрастает, а g(x) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(x)=g(x) может иметь не более одного решения на промежутке L.

Отметим, что в качестве промежутка L могут быть бесконечный промежуток (-∞; +∞), полубесконечные промежутки (а; +∞), (-∞; а), [а; +∞), (-∞; а], отрезки, интервалы и полуинтервалы.

Пример 1. Решить уравнение

(18)

Решение. Очевидно, что х0 не может являться решением уравнения (18), так как тогда . Для х>0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих х функций f=x и https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34"> принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, что х=1 является решением уравнения (18), следовательно, это его единственное решение.

Ответ: х=1.

Пример 2. Решить неравенство

. (19)

Решение. Каждая из функций , , непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, такой же является и исходная функция . Легко видеть, что при х=0 функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при х>0 имеем , при х<0 имеем . Следовательно, решениями неравенства (19) являются все х<0.

Ответ: -∞

Пример 3. Решить уравнение

(20)

Решение. Область допустимых значений уравнения (20) есть промежуток . На области допустимых значений функции и непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция . Поэтому каждое свое значение функция h(x) принимает только в одной точке. Так как h(2)=2, то х=2 является единственным корнем исходного уравнения.

Ответ: х=2.

Пример 4. Решить неравенство

Решение..gif" width="253 height=27" height="27"> является непрерывной и строго возрастающей. Так как f(1)=4, то все значения х из множества возрастает на промежутке . Так как на промежутке ..gif" width="95" height="25 src="> представлены на рисунке 7. Из рисунка следует, что для всех х из ОДЗ неравенство (26) справедливо.

Докажем это. Для каждого имеем , а для каждого такого х имеем, что https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> имеем . Следовательно, решениями неравенства (26) будут все х из промежутка [-1;1].

Пример 2. Решить уравнение

. (27)

Решение..gif" width="123" height="24"> и представлены на рисунке 8. Проведем прямую у=2. Из рисунка следует, что график функции f(x) лежит не ниже этой прямой, а график функции g(x) не выше. При этом эти графики касаются прямой у=2 в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого имеем , а . При этом f(x)=2 только для х=-1, а g(x)=2 только для х=0. Это означает, что уравнение (27) не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Пример 3. Решить уравнение

. (28)

Решение..gif" width="95" height="25 src="> представлены на рисунке 9. Легко проверяется, что точка (-1; -2) является точкой пересечения графиков функций f(x) и g(x), то есть х=-1 есть решение уравнения (28). Проведем прямую у=х-1. Из рисунка следует, что она расположена между графиками функций у=f(x) и у=g(x). Это наблюдение и помогает доказать, что других решений уравнение (28) не имеет.

Для этого докажем, что х из промежутка (-1; +∞) справедливы неравенства и , а для х из промежутка (-∞; -1) справедливы неравенства https://pandia.ru/text/78/500/images/image229_1.gif" width="89" height="21 src=">. Очевидно, что неравенство справедливо для х>-1, а неравенство https://pandia.ru/text/78/500/images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Решениями этого неравенства являются все х<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Следовательно, требуемое утверждение доказано, и уравнение (28) имеет единственный корень х=-1.

Ответ: х=-1.

Пример 4. Решить неравенство

. (29)

Решение..gif" width="39" height="19 src=">, то есть ОДЗ состоит из трех промежутков , , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width="52" height="41">, равносильно неравенству

, (30)

а в области х>0 оно равносильно неравенству

. (31)

Эскизы графиков функций и приведены на рисунке 10..gif" width="56" height="45"> и .

Поэтому неравенство (31) не имеет решений, а неравенство (30) будет иметь решениями все х из промежутка .

Докажем это.

А) Пусть . Неравенство (29) равносильно на этом промежутке неравенству (30). Легко видеть, что для каждого х из этого интервала справедливы неравенства

Следовательно, неравенство (30), а вместе с ним и исходное неравенство (29) не имеют решений на интервале .

Б) Пусть . Тогда неравенство (29) также равносильно неравенству (30). Для каждого х из этого интервала

Следовательно, любое такое х является решением неравенства (30), а поэтому и исходного неравенства (29).

В) Пусть х>0. На этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству (31). Очевидно, что для любого х из этого множества справедливы неравенства

Отсюда следует:

1) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где , то есть неравенство (31) не имеет решений на множестве ;

2) неравенство (31) не имеет решений на том множестве, где https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19">. Остается найти решения неравенства (31), принадлежащие интервалу 1

Иванова Анастасия

Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство. При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения. Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций. По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ. Цель : изучить различные способы решения неравенств.

1. Изучить теоретический материал по данной теме.

2. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.

3. Изучить функционально-графические методы решения неравенств.

4. Сравнить различные методы решения неравенств.

5. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Методы исследование: опрос, анкетирование, анализ, сравнение и обобщение результатов.

В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Исследование различных методов решения неравенств

Иванова Анастасия Евгеньевна

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
"Средняя школа №30 с углубленным изучением отдельных предметов"

11б класс

Научная статья (описание работы)

1. Введение

Актуальность.

Задание № 15 профильного экзамена по математике - это задание повышенного уровня сложности, представляющее неравенство (рациональное, иррациональное, показательное, логарифмическое). При решении этих неравенств учащиеся должны показать знания теорем о равносильности неравенств определенного вида, умения использовать стандартные и нестандартные методы решения.

Полное правильное решение этого задания оценивается 2 баллами. При решении задачи допустимы любые математические методы - алгебраический, функциональный, графический, геометрический и др.

По статистике представленной на сайте Федерального института педагогических измерений в 2017 году ненулевые баллы за это задание получили около 15% участников экзамена; максимальный балл – около 11%. Типичные ошибки связаны с невнимательным чтением математической записи неравенства, непониманием алгоритма решения совокупностей и систем логарифмических неравенств. Очень много ошибок допущено участниками экзамена при решении дробно-рационального неравенства (забыт знаменатель) .

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы на ЕГЭ по математике представлены в таблице 1 и на диаграмме (рис. 1).

Таблица 1

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Рис.1. Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене 11а,б классов в 2017-2018 уч. году представлены в таблице 2 и на диаграмме (рис.2).

Таблица 2

Результаты выполнения задания № 15 на пробном городском экзамене

в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Рис.2. Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Мы провели опрос учителей математики нашей школы и выявили основные проблемы, которые возникают у учащихся при решении неравенств: неверное нахождение области допустимых значений неравенств; рассмотрение не всех случаев перехода от логарифмического неравенства к рациональному; преобразование логарифмических выражений; ошибки в использовании метода интервалов и др.

С применением метода интервалов и введением вспомогательной переменной связан ряд типичных ошибок. Так например, ошибка при определении знаков на промежутках или неправильное расположение чисел на координатной прямой, согласно критериям, могут трактоваться как вычислительные ошибки. Другие, связанные с пропуском шагов алгоритма или неверным их выполнением оцениваются 0 баллом.

Всё отмеченное указывает на то, что учащиеся испытывают большие трудности при решении задания № 15 ЕГЭ по математике. В связи с этим нами была выдвинута гипотеза : если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный.

Объект исследования : неравенства.

Предмет исследования : различные способы решения неравенств.

Цель : изучить различные способы решения неравенств.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи :

Изучить теоретический материал по данной теме.
Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений.
Изучить функционально-графические методы решения неравенств.
Сравнить различные методы решения неравенств.
Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

2. Основная часть

2.1. Теоретическая часть

1. Линейные неравенства

Линейные неравенства - это неравенства вида: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, где a и b – любые числа, причем a≠0, x - неизвестная переменная.

Правила преобразования неравенств:

1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный.

2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.

3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный.

2. Квадратные неравенства

Неравенство вида

где x - переменная, a, b, c - числа, , называется квадратным. При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая: 1) D=0 , квадратное уравнение имеет один корень; 2) D>0 квадратное уравнение имеет два корня; 3) D квадратное уравнение не имеет корней. В зависимости от полученных корней и знака коэффициента a возможно одно из шести расположений графика функции (Приложение 1).

3. Рациональные неравенства

Рациональным неравенством с одной переменной x называют неравенство вида f(x) выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной x и с помощью математических действий, т.е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Алгоритм решения рациональных неравенств методом интервалов (Приложение 1).

4. Показательные неравенства

Показательное неравенство – это неравенство , в котором неизвестное находится в показателе степени. Простейшее показательное неравенство имеет вид:а х ‹ b или а х › b, где а> 0, а ≠ 1, х – неизвестное.

5. Логарифмические неравенства

Логарифмическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестная величина стоит под знаком логарифма .

1. Неравенство в случае, если сводится к равносильному неравенству . Если же - то к неравенству .

Аналогично неравенство равносильно неравенствам для : ; для : .

Решения полученных неравенств надо пересечь с ОДЗ:

2. Решение логарифмического неравенства вида равносильно решению следующих систем:

а) б)

Неравенство в каждом из двух случаев сводится к одной из систем:

а) б)

6. Иррациональные неравенства

Если в неравенство входят функции под знаком корня, то такие неравенства называют иррациональными .

2.2. Практическая часть

Исследование № 1

Цель : изучить метод ограниченности функций.

Ход работы:

1. Изучить метод ограниченности функций.

2. Решить неравенства данным методом.

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных функций (например, ) .

Пример № 1 . Решить неравенство:

Решение:

Область определения:

Для всех х из полученного множества имеем:

Следовательно, решение неравенства

Ответ:

Пример №2. Решить неравенство:

Решение:

Т.к.

Данное неравенство равносильно

Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению.

Ответ: - 0,4

Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Исследование № 2

Цель : изучить метод рационализации решения неравенств.

Ход работы:

1. Изучить метод рационализации.

2. Решить неравенства данным методом.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x) v 0 равносильно неравенству F(x) v 0 на области определения выражения F(x) (символ "v" заменяет один из знаков неравенств: ≤, ≥, >,

Выделим некоторые типовые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G (таблица 1), где f, g, h, p, q - выражения с переменной х (h>0, h≠1,f>0,g>0), a-фиксированное число (а>0, a≠1). (Приложение 2).

Пример № 1. Решить неравенство:

О.Д.З:

Ответ:

Пример № 2. Решить неравенство:

О.Д.З:

Учитывая область определения, получим

Ответ:

Вывод : неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Исследование № 3

Цель : в процессе решения неравенств сравнить различные методы.

Ход работы:

1. Решить неравенство разными методами.

2. Сравнить результаты и сделать вывод.

Пример № 1. Решить неравенство

Решение:

1 способ. Алгебраический метод

Решение первой системы:

Решаем второе неравенство второй системы:

2 способ . Использование области определения функции

Область определения:

Для этих значений х получаем:

Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

Ответ:

3 способ. Графический метод

Вывод : решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: .

Ответ:

Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Заключение

Анализ содержания школьных учебников показывает, что в большинстве из них методам решения неравенств с использованием свойств функций не уделяется должного внимания, а в заданиях ЕГЭ почти каждый год предлагаются неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Большинство учащихся решают неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что иногда приводит к громоздким вычислениям. В связи с этим процент выполнения задания № 15 на ЕГЭ невысок.

И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Литература:

Алимов Ш. А, Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2007. – 384 с.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012. – 104 с.
Сайт http://www.fipi.ru/.
Сайт https://ege.sdamgia.ru/.
Ященко И. В. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. - М.: Издательство «Национальное образование», 2018. - 256 с.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Исследование различных методов решения неравенств Иванова Анастасия Евгеньевна МБОУ «СШ № 30 с углубленным изучением отдельных предметов»

Результаты выполнения задания № 15 обучающимися нашей школы

Результаты выполнения задания № 15 на пробном экзамене в 2017-2018 уч. году обучающимися нашей школы

Гипотеза: если ученик будет владеть несколькими способами решения неравенств, то он сможет выбрать наиболее рациональный Объект исследования: неравенства Предмет исследования: различные способы решения неравенств

Цель: изучить различные способы решения неравенств. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: Изучить теоретический материал по данной теме. Рассмотреть примеры, предложенные в банке заданий ЕГЭ на сайте Федерального института педагогических измерений. Изучить функционально-графические методы решения неравенств. Сравнить различные методы решения неравенств. Проверить экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный.

Исследование № 1 Цель: изучить метод ограниченности функций. Ход работы: 1. Изучить метод ограниченности функций. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1 . Решить неравенство: Решение: Область определения: Для всех х из полученного множества имеем: Следовательно, решение неравенства Ответ:

Пример №2. Решить неравенство: Решение: Т.к. Данное неравенство равносильно Первое уравнение системы имеет один корень х = - 0,4, который удовлетворяет и второму уравнению. Ответ: - 0,4 Вывод: данный метод наиболее эффективен, если в неравенстве содержатся такие функции, как и другие, области значений которых ограничены сверху или снизу.

Исследование № 2 Цель: изучить метод рационализации решения неравенств. Ход работы: 1. Изучить метод рационализации. 2. Решить неравенства данным методом. Пример № 1. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ:

Пример № 2. Решить неравенство: О.Д.З: Учитывая область определения, получим Ответ: Вывод: неравенства с логарифмами по переменному основанию вызывают наибольшую сложность. Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Метод рационализации позволяет не только сэкономить время, но и снизить риск логических и вычислительных ошибок.

Исследование № 3 Цель: в процессе решения неравенств сравнить различные методы. Ход работы: 1. Решить неравенство разными методами. 2. Сравнить результаты и сделать вывод. Пример № 1. Решить неравенство 1 способ. Алгебраический метод Решение первой системы: Решаем второе неравенство второй системы: 2 способ. Использование области определения функции Область определения: Для этих значений х получаем: Правая часть неравенства отрицательна на его области определения. Следовательно, неравенство справедливо при

3 способ. Графический метод Вывод: решая неравенство алгебраическим методом я пришла к неравенству шестой степени, потратила много времени на его решение, но так и не смогла решить. Рациональный метод, по моему мнению, использование области определения функции или графический.

Пример № 2. Решить неравенство: Ответ: Вывод: решить данное неравенство у меня получилось лишь благодаря методу рационализации.

Область применения свойств функций при решении неравенств очень широка. Использование свойств (ограниченность, монотонность и др.) функций, входящих в неравенства, позволяет применить нестандартные методы решения. По нашему мнению, умение использовать необходимые свойства функций при решении неравенств могут позволить учащимся выбирать более рациональный способ решения. В своей работе мы изучили функционально-графические методы решения неравенств. Сравнили различные методы решения неравенств. Проверили экспериментальным путем какой способ решения неравенств наиболее рациональный. И пришли к выводу, что учащийся должен владеть несколькими способами решения неравенств, для того чтобы сэкономить время и снизить риск логических и вычислительных ошибок. Задачи нашей работы выполнены, цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Спасибо за внимание!

Алгебра и начала анализа1011 класс (А.Г.Мордкович)
Разработать урок по функциональнографическому методу решения
уравнений.
Тема урока: Функциональнографический метод решения уравнений.
Тип урока: Урок совершенствования знаний умений и навыков.
Цели урока:
Образовательные: Систематизировать, обобщить, расширить знания, умения
учащихся, связанные с применением функциональнографического метода
решения уравнений. Отработать навыки решения уравнений функционально
графическим методом.
Развивающие: Развитие памяти, логического мышления, умения
анализировать, сравнивать, обобщать, самостоятельно делать выводы;
развитие грамотной математической речи.
Воспитательные: воспитывать аккуратность и точность при выполнении
заданий, самостоятельность и самоконтроль; формирование культуры
учебного труда; продолжить формирование познавательного интереса к
предмету.
Структура урока:
I.
АЗ
1. Организационный момент.

4. Постановка целей и задач на следующий этап урока.
II.
ФУН
1. Коллективное решение задач.
2. Постановка домашнего задания.
3. Самостоятельная работа.
4. Подведение итогов урока.

Ход урока:
I.АЗ
1.Организационный момент.
2. Устная работа с целью проверки домашнего задания.
Начнём урок с проверки домашнего задания.
Называйте ответы по цепочке.
1358.а)4x=1/16
4x=42
б)(1/6)x=36
6x=62
x=2 x=2
1364.a)(1/5)x*3x= √ 27

3
5
¿
3
5
¿
)x=
125 б)5x*2x=0,13
)3/2 10x=103
x=3
x=1.5
1366.a)22x6*2x+8=0
2x=a
a=2 , a=4
2x=2, 2x=4
x=1, x=2
1367. б)2*4x5*2x+2=0
2x=a
2a25a+2=0
a=2, a=1/2
2x=2, 2x=1/2
x=1, x=1
1371.a)5x=x+6 y=5x y=x+6
y
6
5
0
1
x
x=1

Молодцы, у всех получились такие ответы, есть вопросы по домашнему
заданию? Все справились?
3. Фронтальный опрос с целью АЗ по теме.
Как называются уравнения, которые вы решали в домашней работе?
Показательные.
Какие уравнения называются показательными?
Показательными уравнениями называют уравнения вида af(x)=ag(x), где а
положительное число отличное от 1,и уравнения, сводящиеся к этому
виду.
Какому уравнению равносильно уравнение af(x)=ag(x)?
уравнение af(x)=ag(x) (где a>0,a ≠1) равносильно уравнению f(x)=g(x)
C помощью каких основных методов вы решали показательные уравнения?
1) Метод уравнивания показателей
2) Метод введения новой переменной
3) Функционально графический метод
4.Постановка целей и задач на следующий этап урока.
Сегодня мы подробнее остановимся на решение уравнений с помощью
функционально – графического метода.
За 10 минут до конца урока вы напишите небольшую самостоятельную работу.
II.ФУН
1.Коллективное решение задач.
В чём же суть функциональнографического метода решения уравнений? Что
мы должны сделать решая уравнение таким способом?
Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функциональнографическим
методом нужно:
Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.
Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.
Записать ответ.
№1a)3x=x+4

Функционально –графическим.

Введем функции.

y=3x y=x+4
таблицу.
Каким образом строим график?
По точкам, подставляем в функцию x и находим y.
y
4
3

0
1
x

Найдём точку пересечения двух получившихся графиков.
Сколько точек пересечения у нас получилось, посмотри на рисунок?
Одна точка.
Что это значит? Сколько корней имеет данное уравнение?
Один корень, равен 1.
Ответ: x=1
б)3x/2=0.5x+4
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=3x/2 y=0.5x+4
y
4
3
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?

Ответ: x=2
№2 a)2x+1=x3
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=2x+1 y= x3

8
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
б)2x=(x2/2)+2
Каким методом мы будем решать уравнение?
Функционально –графическим.
Какой будет первый шаг при решении уравнения?
Введем функции.
Какие функции у нас получаться?
y=2x y= (x2/2)+2
Если учащийся может, строит график сразу, если нет, сначала составляет
таблицу.
y

4
0
2 x
Как мы найдём корень уравнения?
Найдём точку пересечения двух получившихся графиков, корень равен 2.
Ответ: x=2
2.Откройте дневники, запишите домашнее задание.
№№1372,1370,1371(в,г)
3.Самостоятельная работа.

а)3x+26x=0 (решений нет)
б)5x/5+x1=0 (x=0)
А сейчас небольшая самостоятельная работа. Проверим как вы усвоили
материал, всё ли из вас поняли суть функциональнографического метода
решения уравнений.
№1 Решить уравнение функционально графическим методом:
1 вариант
2 вариант
а)5x/5=x2 (решений нет)
б)3x+23=0 (x=1)
№2 Сколько корней имеет уравнение и в каком промежутке они находятся
1 вариант
а)3x=x22 (решений нет) а) 3x=x2+2 ((1,5;1) два корня)
б)3x/2=6x ((3;3,5) два корня) б)2x+x25=0 (2.5;1.5) два корня)
4.Подведение итогов урока.
Чем сегодня мы занимались на уроке? Задания, какого вида решали?
Какой метод решения показательных уравнений вы сегодня освоили?
Повторим ещё раз, в чём суть функционально – графического метода решения
уравнений?
Объясните пошагово, как решаются уравнения таким методом?
Есть вопросы? Всем всё понятно?
Урок закончен, можете быть свободны.
2 вариант

В стандартном курсе школьной математике свойства функций применяются в основном для построения их графиков. Функциональный метод решения уравнений применяют тогда и только тогда, когда уравнение F(x) = G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения.

В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.

В работе рассмотрены следующие свойства функции: область определения функции; область значений функции; свойства монотонности функции; свойства выпуклости функции; свойства четности и нечетности функции.

Цель работы: провести некоторую классификацию нестандартных уравнений по использованию общих свойств функций, описать суть каждого свойства, дать рекомендации по его использованию, указания к применению.

Вся работа сопровождается решением конкретных задач, предлагавшихся на ЕГЭ различных лет.

Глава 1. Использование понятия области определения функции.

Введем несколько ключевых определений.

Областью определения функции y = f(x) называется множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл.

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где f(x) и g(x)- элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Тогда областью D допустимых значений уравнения будет множество, состоящее из тех значений х, которые принадлежат обоим множествам, то есть D = D1∩ D2. Ясно, что когда множество D пустое (D= ∅), то уравнение решений не имеет. (Приложение № 1).

1. arcsin (x+2) +2x- x2 = x-2.

ОДЗ:-1 =0⇔-3

Ответ: решений нет.

2. (х2-4х+3 +1)log5х5 + 1х(8х-2х2-6 + 1) = 0.

ОДЗ: х2-4х+3>=0,х>0,8х-2х2-6>=0⇔х∈(-infinity;1∪ 3;infinity),х>01

Проверка: х = 1.

(1-4+3 +1)log515 + (8-2-6 + 1) = 0,

0 = 0 - верно.

х = 3. (9-12+3+1)log535 +13(24-18-6+1) = 0, log535 +13 = 0 - неверно.

Часто оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения).

1. x+27-x(x-9 +1) = 1.

ОДЗ: x-9>=0, x>=9.

При x>=9 x+2>0, 7-x 0, таким образом, произведение трех сомножителей, стоящих в левой части уравнения отрицательно, а правая часть уравнения положительна, значит, уравнение решений не имеет.

Ответ: ∅.

2. 3-x2+ x+2 = x-2.

ОДЗ: 3-x2>=0,x+2>=0,⇔ 3-x(3+x)>=0,x>=-2,⇔ -3=-2,⇔

На множестве допустимых значений левая часть уравнения - положительна, а правая - отрицательна, значит, уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Глава 2. Использование понятия области значений функции.

Областью значений функции y = f(x) называется множество значений переменной y при допустимых значениях переменной x.

Функция y = f(x) называют ограниченной снизу (соответственно сверху) на множестве Х, если существует такое число М, что на Х выполняется неравенство fx>=М (соответственно fx

Функция y = f(x) называется ограниченной на данном промежутке (содержащемся в области ее определения), если существует такое число М >0, что при всех значениях аргумента, принадлежащих данному промежутку, имеет место неравенство f(x)

Пусть дано уравнение f(x) = g(x), где g(x) - элементарные функции, определенные на множествах D1, D2. Обозначим область изменения этих функций соответственно E1 и E2. Если х1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1) = g(x1), где f(x1) значение функции f(x) при х = х1, а g(x1) - значение функции g(x) при х = х1. Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функций f(x) и g(x) имеют общие элементы (Е1∩Е2 !=∅). Если же таких общих элементов множества Е1 и Е2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

Для оценки выражений используются базовые неравенства. (Приложение №2).

Пусть дано уравнение f(x) = g(x). Если f(x)>=0 и g(x)

1. x2+2xsinxy+1=0.

Решение. В левой части есть единица, значит, можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: x2+ 2xsinxy+ sin2xy+cos2xy=0.

Сумма первых трех членов представляет собой полный квадрат:

(x+sinxy)2+cos2xy =0.

Следовательно, в левой части сумма квадратов, она равна нулю тогда, когда одновременно равны нулю выражения, стоящие в квадратах. Запишем систему: cosxy=0,x+sinxy=0.

Если cosxy=0, то sinxy= +-1, поэтому эта система равносильна совокупности двух систем: x+1=0,cosxy=0 или x-1=0,cosxy=0.

Их решениями являются пары чисел х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.

Ответ: х=1, у = PI 2 + PIm, m∈Z, и x=-1, y = = PI 2 + PIm, m∈Z.

Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f(x), y = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений fx=А,gx=А.

1. Найдите все значения a, при которых имеет решение уравнение

2cos222x-x2=a+3sin(22x-x2+1).

После замены t= 22x-x2 приходим к уравнению cos(2t+PI3)=a-12.

Функция t=2mвозрастает, значит, она достигает своего наибольшего значения при наибольшем значении m. Но m=2х - х имеет наибольшее значение, равное 1. Тогда tнаиб = 22·1-1=2. Таким образом, множеством значений функции t= 22x-x2является промежуток (0;2, а функции cos(2t+PI3)- промежуток -1;0,5). Следовательно, исходное уравнение имеет решение для тех и только тех значений a, которые удовлетворяют неравенствам -1Ответ: -12. Решить уравнение (log23)x+a+2 = (log94)x2+a2-6a-5.

Воспользовавшись очевидными неравенствами

Ответ: x= - 5+32, если a=1+32 и x=-5+32, если a= 1-32.

Можно подробнее рассмотреть и другие уравнения. (Приложение №3).

Глава 3. Использование свойства монотонности функции.

Функцию y = f(x) называют возрастающей (соответственно убывающей) на множестве Х, если на этом множестве при увеличении аргумента увеличиваются (соответственно уменьшаются) значения функции.

Иными словами, функция y = f(x) возрастает на множестве Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1Она убывает на этом множестве, если из х1∈Х, х2∈Х и х1 f(x2).

Функцию y = f(x) называют нестрого возрастающей (соответственно нестрого убывающей) на Х, если из х1∈Х, х2∈Х и х1=f(x2)).

Функции, возрастающие и убывающие на Х, называют монотонными на Х, а функции, нестрого возрастающие или нестрого убывающие на Х, называют нестрого монотонными на Х.

Для доказательства монотонности функций используются следующие утверждения:

1. Если функция f возрастает на множестве Х, то для любого числа С функция f+С тоже возрастает на Х.

2. Если функция f возрастает на множестве Х и С > 0, то функция Сf тоже возрастает на Х.

3. Если функция f возрастает на множестве Х, то функция - f убывает на этом множестве.

4. Если функция f возрастает на множестве Х и сохраняет знак на множестве Х, то функция 1f убывает на этом множестве.

5. Если функции f и g возрастают на множестве Х, то их сумма f+g тоже возрастает на этом множестве.

6. Если функции f и g возрастают и неотрицательны на множестве Х, то их произведение fg тоже возрастает на Х.

7. Если функция f возрастает и неотрицательна на множестве Х и n - натуральное число, то функция fn тоже возрастает на Х.

8. Если обе функции f(x) и g(x) возрастающие или обе убывающие, то функция h(x) = f(g(x)) - возрастающая функция. Если одна из функций возрастающая. А другая убывающая, то h(x) = f(g(x)) - убывающая функция.

Сформулируем теоремы об уравнениях.

Теорема 1.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(x) = С имеет на промежутке Х не более одного корня.

Теорема 2.

Если функция f(x) монотонна на промежутке Х, то уравнение f(g(x)) = f(h(x)) равносильно на промежутке Х уравнению g(x) = h(x).

Теорема 3.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, а g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение g(x) = f(x) имеет на промежутке Х не более одного корня.

Теорема 4.

Если функция f(x) возрастает на промежутке Х, то уравнение f(f(x)) = x равносильно на промежутке Х уравнению f(x) = х.

1. Найдите все значения a, при которых имеет ровно три корня уравнение

4-x-alog3(x2-2x+3)+2-x2+2xlog13(2x-a+2)=0.

Решение. Преобразуем данное уравнение к виду

2x2-2xlog3(x2-2x+3)= 22x-a-1log3(2x-a+2).

Если положить u = x2-2x, v=2x-a-1, то придем к уравнению

2ulog3(u+3)= 2vlog3(v+3).

Функция f (t) = 2tlog3(t+3) монотонно возрастает при t >-2, поэтому от последнего уравнения можно перейти к равносильному u = v, x2-2x = 2x-a-1⇔(x-1)2=2x-a.

Это уравнение, как видно из рисунка, имеет ровно три корня в следующих случаях:

1. Вершина графика функции у = 2x-a располагается в вершине параболы у = (x-1)2, что соответствует a = 1;

2. Левый луч графика у = 2x-a касается параболы, а правый пересекает ее в двух точках; это возможно при a=12;

3. Правый луч касается, а левый - пересекает параболу, что имеет место при a=32.

Поясним второй случай. Уравнение левого луча у = 2a-2x, его угловой коэффициент равен -2. Следовательно, угловой коэффициент касательной к параболе равен

2(х -1) = -2 ⇒ х = 0 и точка касания имеет координаты (0; 1). Из условия принадлежности этой точки лучу находим a=12.

Третий случай можно рассмотреть аналогично или привлечь соображения симметрии.

Ответ: 0,5; 1;1,5.

Можно рассмотреть подробнее и другие уравнения. (Приложение №4).

Глава 4. Использование свойств выпуклости.

Пусть функция f(x) определена на промежутке Х она называется строго выпуклой вниз (вверх) на Х, если для любых u и v из Х, u!=v и 0

Геометрически это означает, что любая точка хорды ВС (то есть отрезка с концами в точках B(u;f(u)) и C(v;f(v)), отличная от точек В и С, лежит выше (ниже) точки А графика функции f(x), соответствующей тому же значению аргумента. (Приложение №5).

Функции строго выпуклые вверх и вниз называются строго выпуклыми.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1.

Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х, u ,v ∈X, u

Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение.

Теорема 2.

Если функция f(x) является строго выпуклой на промежутке Х, функции u = u(x), v = v(x), u1=u1(x), v1 = v1(x) такие, что при всех х из ОДЗ уравнения f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (1) их значения u(x), v(x), u1(x), v1(x) содержатся в Х и выполнено условие u+v = u1 +v1, то уравнение f(u)+f(v) = f(u1) + f(v1) (2) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений u (x) = u1(x), u(x) = v1(x) (3).

1. 41-sin4x+41-cos4x=412.

Решение. Если положим fx= 41-x2, u=cos2x, v=sin2x, u1=v1=12, то данное уравнение запишется в виде (1). Поскольку f"x= -x24(1-x2)3, f""x=-2+x244(1-x2)7, то функция fx является строго выпуклой вверх на сегменте -1;1. Очевидно, что выполнены остальные условия теоремы 2 и, следовательно, уравнение равносильно уравнению cos2x = 0,5, х = PI4 +PIk2, где k∈Z.

Ответ: х = PI4 +PIk2, где k∈Z.

Теорема 3.

Пусть функция fx является строго выпуклой на промежутке Х и u,v, λv+(1-λ)u∈X. Тогда равенство f (λv+(1-λ)u) = λf(v)+(1-λ)f(u) (4) справедливо в том и только и том случае, если либо u=v, либо λ=0, либо λ=1.

Примеры: sin2xcos3x+cos2xsin3x∙1+sin2xcos3x+cos2xsin3x= sin2xcos3x1+cos3x+cos2xsin3x1+sin3x.

Уравнение имеет вид (4), если fx=x1+x= x+x2, u=sin3x, v= cos3x, λ=sin2x.

Очевидно, что функция fx является строго выпуклой вниз на R. Следовательно, по теореме 3 исходное уравнение равносильно совокупности уравнений sinx=0, sin2x=1, cos3x=sin3x.

Отсюда получаем, что его решениями будут PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.

Ответ: PIk2, PI12+PIn3, где k,n∈Z.

Использование свойств выпуклости применяется при решении и более сложных уравнений. (Приложение № 6).

Глава 5. Использование свойств четности или нечетности функций.

Функция fx называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение - х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x= fx. Функция fx называется нечетной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение - х также принадлежит области определения и выполняется равенство f-x=- fx.

Из определения следует, что области определения четной и нечетной функций симметричны относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная - равные по абсолютной величине, но противоположного знака.

Теорема 1.

Сумма, разность, произведение и частное двух четных функций являются четными функциями.

Теорема 2.

Произведение и частное двух нечетных функций представляют собой четные функции.

Пусть имеем уравнение F(x)=0, где F(x) - четная или нечетная функция.

Чтобы решить уравнение F(x) = 0, где F(x) - четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, симметричные полученным, и для нечетной функции корнем будет х = 0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение х = 0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

В обеих частях уравнения имеем четные функции. Поэтому достаточно найти решения для x>=0. Так как x=0 не является корнем уравнения, рассмотрим два промежутка: (0;2, 2;infinity.

а) На промежутке (0;2 имеем:

8x= 2x+2-x+2, 23x=24, x= 43.

b) На промежутке 2;infinity имеем:

8x= 2x+2+x-2,23x=22x, x=0.

Но так как х = 0 не является корнем уравнения, то для х>0 данное уравнение имеет корень x= 43. Тогда x=- 43 также является корнем уравнения.

Ответ: 43; - 43.

Автор полагает, что работа может быть использована учителями и учащимися общеобразовательных типов на факультативных занятиях, при подготовке к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ, вступительным экзаменам в технические учебные заведения.

Тема: "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений, неравенств, систем"

Цель : рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>0, а1

Задачи урока:

повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

работа с графиками функций, содержащими модуль;

рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2-3 Цели и задачи урока.

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>о,а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 4 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания .

Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.

Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

Приведите свои примеры

Применение в реальной жизни (доза принятия лекарств).

Сообщение о дозе принятия лекарств :

Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд5.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

Какая функция называется показательной? Приведите пример.

Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

Область значения (ограниченность)

область определения

монотонность(условие возрастания убывания)

Слайд 6 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)

Слайд 7. Назовите условие возрастания убывания функции и соотнесите формулу функции с ее графиком

Слайд 8. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3 x + 2

б) у=3 x-2 – 2

3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания. Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части

Самостоятельная работа(для сильной части класса)

Слайд9. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

Слайд 10. Соотнесите формулу функции с ее графиком

Учащиеся проверяют свои ответы, не исправляя ошибки, самомтоятельные работы сдают учителю

Слайды 11-21 . Проверка теста для основной части

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений,неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайды 22-23. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд24-25.

Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

СЛАЙД 26

5. Выполнение практической работы.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕИЙ. СЛАЙДЫ 27-30

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ”.

Решить уравнение 3 x = (х-1) 2 + 3

Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

т.к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ. Слайды 31-33

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций, стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков, необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше(ниже0 точек второго.

Решить неравенство:

а) сos x 1 + 3 x

Решение:

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

Ответ: х>2. О

.
Oтвет: х>0.

Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.слайд 34-35

Повторим определение модуля.

(запись на доске)

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде.Объяснить, как построены графики.

Е(у)=(0;1]

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции. Функция принимает значения > 1, а – 1 < > 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

.Нахождение области значений сложной функции. Слайды 36-37.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

, - вершина параболы.