Существует несколько различных классификаций магических квадратов

пятого порядка, призванных хоть как-то их систематизировать. В книге

Мартина Гарднера [ГМ90, сс. 244-345] описан один из таких способов –

по числу в центральном квадрате. Способ любопытный, но не более того.

Сколько существует квадратов шестого порядка, до сих пор неизвестно, но их примерно 1.77 х 1019 . Число огромное, поэтому нет никаких надежд пересчитать их с помощью полного перебора, а вот формулы для подсчёта магических квадратов никто придумать не смог.

Как составить магический квадрат?

Придумано очень много способов построения магических квадратов. Проще всего составлять магические квадраты нечётного порядка . Мы воспользуемся методом, который предложил французский учёный XVII века А. де ла Лубер (De La Loubère). Он основан на пяти правилах, действие которых мы рассмотрим на самом простом магическом квадрате 3 х 3 клетки.

Правило 1. Поставьте 1 в среднюю колонку первой строки (Рис. 5.7).

Рис. 5.7. Первое число

Правило 2. Следующее число поставьте, если возможно в клетку, соседнюю с текущей по диагонали правее и выше (Рис. 5.8).

Рис. 5.8. Пытаемся поставить второе число

Правило 3. Если новая клетка выходит за пределы квадрата сверху , то запишите число в самую нижнюю строку и в следующую колонку (Рис. 5.9).

Рис. 5.9. Ставим второе число

Правило 4. Если клетка выходит за пределы квадрата справа , то запишите число в самую первую колонку и в предыдущую строку (Рис. 5.10).

Рис. 5.10. Ставим третье число

Правило 5. Если в клетке уже занята , то очередное число запишите под текущей клеткой (Рис. 5.11).

Рис. 5.11. Ставим четвёртое число

Рис. 5.12. Ставим пятое и шестое число

Снова выполняйте Правила 3, 4, 5, пока не составите весь квадрат (Рис.

Не правда ли, правила очень простые и понятные, но всё равно довольно утомительно расставлять даже 9 чисел. Однако, зная алгоритм построения магических квадратов, мы сможем легко перепоручить компьютеру всю рутинную работу, оставив себе только творческую, то есть написание программы.

Рис. 5.13. Заполняем квадрат следующими числами

Проект Магические квадраты (Magic)

Набор полей для программы Магические квадраты совершенно очевиден:

// ПРОГРАММА ДЛЯ ГЕНЕРИРОВАНИЯ

// НЕЧЕТНЫХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

// ПО МЕТОДУ ДЕ ЛА ЛУБЕРА

public partial class Form1 : Form

//макс. размеры квадрата: const int MAX_SIZE = 27; //var

int n=0; // порядок квадрата int [,] mq; // магический квадрат

int number=0; // текущее число для записи в квадрат

int col=0; // текущая колонка int row=0; // текущая строка

Метод де ла Лубера годится для составления нечётных квадратов любого размера, поэтому мы можем предоставить пользователю возможность самостоятельно выбирать порядок квадрата, разумно ограничив при этом свободу выбора 27-ью клетками.

После того как пользователь нажмёт заветную кнопку btnGen Генерировать! , метод btnGen_Click создаёт массив для хранения чисел и переходит в метод generate :

//НАЖИМАЕМ КНОПКУ "ГЕНЕРИРОВАТЬ"

private void btnGen_Click(object sender, EventArgs e)

//порядок квадрата:

n = (int )udNum.Value;

//создаем массив:

mq = new int ;

//генерируем магический квадрат: generate();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count-27;

Здесь мы начинаем действовать по правилам де ла Лубера и записываем первое число – единицу – в среднюю клетку первой строки квадрата (или массива, если угодно):

//Генерируем магический квадрат void generate(){

//первое число: number=1;

//колонка для первого числа - средняя: col = n / 2 + 1;

//строка для первого числа - первая: row=1;

//заносим его в квадрат: mq= number;

Теперь мы последовательно пристраиваем по клеткам остальные числа – от двойки до n * n:

//переходим к следующему числу:

Запоминаем на всякий случай координаты актуальной клетки

int tc=col; int tr = row;

и переходим в следующую клетку по диагонали:

Проверяем выполнение третьего правила:

if (row < 1) row= n;

А затем четвёртого:

if (col > n) { col=1;

goto rule3;

И пятого:

if (mq != 0) { col=tc;

row=tr+1; goto rule3;

Как мы узнаем, что в клетке квадрата уже находится число? – Очень просто: мы предусмотрительно записали во все клетки нули , а числа в готовом квадрате больше нуля . Значит, по значению элемента массива мы сразу же определим, пустая клетка или уже с числом! Обратите внимание, что здесь нам понадобятся те координаты клетки, которые мы запомнили перед поиском клетки для следующего числа.

Рано или поздно мы найдём подходящую клетку для числа и запишем его в соответствующую ячейку массива:

//заносим его в квадрат: mq = number;

Попробуйте иначе организовать проверку допустимости перехода в но-

вую клетку!

Если это число было последним , то программа свои обязанности выполнила, иначе она добровольно переходит к обеспечению клеткой следующего числа:

//если выставлены не все числа, то if (number < n*n)

//переходим к следующему числу: goto nextNumber;

И вот квадрат готов! Вычисляем его магическую сумму и распечатываем на экране:

} //generate()

Напечатать элементы массива очень просто, но важно учесть выравнивание чисел разной «длины», ведь в квадрате могут быть одно-, дву- и трёхзначные числа:

//Печатаем магический квадрат void writeMQ()

lstRes.ForeColor = Color .Black;

string s = "Магическая сумма = " + (n*n*n +n)/2; lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" );

// печатаем магический квадрат: for (int i= 1; i<= n; ++i){

s="" ;

for (int j= 1; j <= n; ++j){

if (n*n > 10 && mq < 10) s += " " ; if (n*n > 100 && mq < 100) s += " " ; s= s + mq + " " ;

lstRes.Items.Add(s);

lstRes.Items.Add("" ); }//writeMQ()

Запускаем программу – квадраты получаются быстро и на загляденье (Рис.

Рис. 5.14. Изрядный квадратище!

В книге С.Гудман, С.Хидетниеми Введение в разработку и анализ алгорит-

мов , на страницах 297-299 мы отыщем тот же самый алгоритм, но в «сокращённом» изложении. Он не столь «прозрачен», как наша версия, но работает верно.

Добавим кнопку btnGen2 Генерировать 2! и запишем алгоритм на языке

Си-шарп в метод btnGen2_Click :

//Algorithm ODDMS

private void btnGen2_Click(object sender, EventArgs e)

//порядок квадрата: n = (int )udNum.Value;

//создаем массив:

mq = new int ;

//генерируем магический квадрат: int row = 1;

int col = (n+1)/2;

for (int i = 1; i <= n * n; ++i)

mq = i; if (i % n == 0)

if (row == 1) row = n;

if (col == n) col = 1;

//построение квадрата закончено: writeMQ();

lstRes.TopIndex = lstRes.Items.Count - 27;

Кликаем кнопку и убеждаемся, что генерируются «наши» квадраты (Рис.

Рис. 5.15. Старый алгоритм в новом обличии

Секрет игры «Магический квадрат»

Уверена, вы где-то слышали такое словосочетание, как «магический квадрат». Нам известны несколько представителей этого «племени». Самый распространённый и часто встречающийся в интернете - это так называемая игра «Магический квадрат». Суть её заключается в том, что вашему вниманию предлагается таблица (это и есть «магический квадрат»), которая способна «угадывать мысли». Естественно, что, как и у любой игры, у нее есть определённые правила. Необходимо задумать любое двузначное число, а затем вычесть из него сумму, состоящую из цифр этого числа. Отыскать полученное значение в таблице вместе с символом, ему соответствующим. И как раз этот символ и отгадывает квадрат. Игра забавная и, на первый взгляд, действительно магическая, потому что какое бы число вы не загадывали первоначально - квадрат всегда угадывает символ. Как это получается? Как работает «магический квадрат»? На самом деле ответ лежит на поверхности. Если проверять квадрат несколько раз подряд, то можно заметить, что все время выпадает один и тот же символ. При более внимательном рассмотрении таблицы видно, что этот символ расположен по горизонтали и ему соответствуют цифры, без остатка делящиеся на 9. Впрочем, только они и получаются в вашем ответе, какое бы двузначное число вы не выбрали. Можно сказать, что мы разоблачили «магический квадрат». Секрет заключается не столько в нем, сколько в условиях игры. Дело в том, что есть такая неоспоримая истина, которая гласит: «Если из любого двузначного числа вычесть сумму его цифр, получится число, без остатка делящееся на 9». Вот мы и выяснили, как работает «магический квадрат». Ни грамма мистики! Хотя в принципе, все, что связанно с цифрами, основано на вычислениях и закономерностях, а никак не на волшебстве.

Секрет магического квадрата:

7	t	41	k	86	h	21	n	33	w	1	p	35	r	61	p	12	w	90	a
15	h	23	z	57	v	55	q	71	d	66	h	78	g	14	q	81	a	10	t
88	d	59	j	74	n	69	b	68	m	38	i	22	m	72	a	3	v	58	m
62	l	77	m	40	c	98	u	20	s	94	m	63	a	87	t	99	m	37	x
92	s	96	g	51	f	73	e	46	i	54	a	53	s	44	h	43	k	2	d
34	o	31	e	91	t	19	i	45	a	50	k	85	v	28	s	38	l	75	v
79	h	8	c	11	s	36	a	16	f	24	z	4	q	67	m	6	f	48	o
17	p	65	w	27	a	42	p	89	e	39	s	95	x	32	f	25	d	26	h
29	c	18	a	82	k	60	o	93	r	83	y	52	k	56	p	53	i	30	y
9	a	80	q	47	d	84	l	5	g	13	x	70	d	49	g	76	c	64	e

Магический квадрат Альбрехта Дюрера

Иногда цифровые закономерности приобретают такие невероятные масштабы, что, кажется, без колдовства здесь не обошлось. Так, например, известен ещё один «магический квадрат» - Альбрехта Дюрера. В математике под ним понимают квадратную таблицу с одинаковым количеством строк и столбцов, заполненную натуральными числами. Причём, сумма этих чисел по горизонтали, вертикали или диагонали должна равняться одному и тому же результату. Магический квадрат пришёл к нам из Китая, сегодня мы все знаем его яркого представителя - кроссворд «Судоку». В Европе первым «волшебную» фигуру изобразил именно Дюрер на своей гравюре «Меланхолия». В чем же уникальность этого «магического квадрата»? В своём основании он имеет сочетание цифр 15 и 14, что соответствует году издания гравюры. А сумма цифр складывается не только из строк по диагонали, вертикали и горизонтали, но и из цифр, стоящих по углам квадрата, в центральном маленьком квадрате и в каждом из четырёхклеточных квадратов по его сторонам. Эти фигуры не предсказывают судьбу и не угадывают мысли, они уникальны именно своими закономерностями.

Квадрат Пифагора

Если же обратиться к гаданиям, то и здесь есть свой представитель - «магический квадрат» Пифагора. Всем нам известно такое имя из уроков геометрии. Но только в наше время этого человека начали называть математиком и философом. В древности же он был известен как учитель мудрости, о нем слагались стихи и пелись оды, ему поклонялись, считали провидцем. Пифагор основал новую науку - нумерологию, в прежние времена она воспринималась как религия.

Он считал, что цифры могут объяснить практически каждое явление, в том числе и определить судьбу человека, рассказать о его характере, талантах и слабостях. Это можно было сделать при помощи квадрата Пифагора. Как работает «магический квадрат» и что из себя представляет? Магический квадрат Пифагора - это квадрат 3/3 (строки, столбцы), в который внесены цифры от 1 до 9. За основу предсказания берётся дата рождения человека. Важно, что «0» в расчётах не фигурирует. С помощью нехитрых вычислений и формул получается набор цифр, который впоследствии необходимо вписать в квадрат. Каждое число имеет своё значение и отвечает за определённое свойство. Так, 4 «отвечает» за здоровье, а 9 - за ум. В зависимости от того, сколько раз в вашем квадрате встречается одна и та же цифра, можно сказать о преобладании того или иного свойства. Так, например, отсутствие 4 - показатель физической слабости и болезненности, а 444 - богатырское здоровье и жизнерадостность. Насколько правдив квадрат Пифагора, сложно сказать, как, впрочем, и любое гадание. Зато теперь, зная, как работает магический квадрат, вы, как минимум, сможете приятно скоротать часок-другой, рассчитывая характеры своих друзей и знакомых.

Тестирование с помощью Чатуранги Шорин Александр

5.2.1 О магии цифр. Что такое магические квадраты

О магии цифр можно рассказывать много. В качестве примера в начале этого исследования мы уже упоминали о цифре 4. Очень многое можно сказать подобным образом о любой цифре.

Например, цифра 1 – единица, начало всего. Цифра 2 – разделение, противоположность двух полов. 3 – треугольник… И так далее. Это очень благодатная тема, углубляться в которую можно бесконечно.

Поэтому оставим ее и прейдем к магическим квадратам, которые имеют прямое отношение к Чатуранге.

Магическими квадратами называют квадратные таблица из целых чисел, которые обладают уникальными свойствами: например, суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Считается, что магические квадраты изобретены в Древнем Китае, а также были известны в Древней Индии, откуда берёт начало Чатуранга. В частности это доказывает Н. М. Рудин в своей книге «От магического квадрата – к шахматам».

Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н. э.) из вод Хуанхэ (Жёлтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы. Эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э. Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А. Дюрера изображенный на его знаменитой гравюре «Меланхолия 1». Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19–20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n -го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n (n 2 + 1)/2. Доказано, что n – 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края. Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными.

Магические квадраты можно строить, например, с помощью метода французского геометра 17 в. А. де ла Лубера.

По методу А. де ла Лубера магический квадрат 5?5 можно построить так:

Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Получается такой магический квадрат:

Можно также воспользоваться методом Ф. де ла Ира (1640–1718), который основан на двух первоначальных квадратах. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз. Поклеточная сумма этих двух квадратов образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Из книги Мастер сновидений. Словарь-сонник. автора Смирнов Терентий Леонидович

Сонник чёрной магии (символы сновидений чёрной магии) Многие духовные искатели, увлечённые популярными эзотерическими концепциями, сами того не подозревают, что в своём развитии сновидений практикуют самую настоящую чёрную магию! Это в самой полной мере относится к

Из книги Практическая магия современной ведьмы. Обряды, ритуалы, пророчества автора Миронова Дарья

Талисманы и магические квадраты Магия талисманов тесно связана с традицией нумерологии. Числа и буквы алфавита, а также специальные символы, без которых не обходится изготовление амулета, оберегают его владельца от плохого воздействия.Многие талисманы имеют вид

Из книги Ритуалы денежной магии автора Золотухина Зоя

Магия цифр Ваше магическое числоДля каждого из нас, утверждают нумерологи, существует своеобразный ключик к заветной тайне – магический числовой знак. Чтобы определить его, вам надо сложить все цифры вашей даты рождения.Складывайте до тех пор, пока в итоге не получится

Из книги Узнай свое будущее. Заставь Фортуну работать на себя автора Коровина Елена Анатольевна

Соотношение цифр и букв

Из книги Звезда защиты и Денежный талисман. Антикризисная нумерология автора Коровина Елена Анатольевна

Соотношение цифр и букв Таблица

Из книги Дата рождения - ключ к пониманию человека автора Александров Александр Федорович

ПЕРЕХОДЫ ЦИФР Можно вас поздравить с тем, что все характеристики цифр изучены. Смело приступайте к расчетам дат рождения всех своих близких, друзей, знакомых, незнакомых и врагов. Здорово! Теперь все раскроют свою «скрытую сущность». Начните, конечно же, с себя - и вы сразу

Из книги Славянская кармическая нумерология. Улучши матрицу своей судьбы автора Маслова Наталья Николаевна

ВЗАИМООТНОШЕНИЯ ЦИФР 5 И 9 Последний переход нельзя назвать собственно переходом, так как речь будет идти не о переходе одной цифры в другую, а об усилении одной цифры через другую. Рассмотрим взаимное влияние друг на друга цифр 5 (логика) и 9 (память). Прежде чем мы определим

Из книги Что можно узнать о человеке по дате его рождения и имени автора Зюрняева Тамара

Справочник. Значение цифр Это сила характера, янская энергия человека, его солнце. От наличия единиц в матрице зависит целеустремленность человека, его самооценка, наличие у него лидерских качеств, степень его

Из книги Математика для мистиков. Тайны сакральной геометрии автора Шессо Ренна

Магия цифр или математика? С глубокой древности люди обращались к числам и придавали им сакральное значение. Разгадать тайну числа – означало разгадать тайну жизни. Еще древнегреческий мудрец Пифагор считал, что все в мире познается через числа.Числам придавали

Из книги Мудры. Все в одной книге. Исполни любое желание автора Левин Петр

Глава № 5 Магические квадраты Мы называем их магическими квадратами или планетарными квадратами. Или печатями, камеями, таблицами. Как и многие другие магические инструменты, они под разными именами известны в различных системах, но как бы их ни называли, они датируются

Из книги Числовой код рождения и его влияние на судьбу. Как просчитать удачу автора Михеева Ирина Фирсовна

Из книги О магии смешно, о магии серьезно автора Картавцев Владислав

Энергия цифр Для того чтобы определить значение числа генетики дня рождения, надо, прежде всего, определить значение самой цифры, ее статус и энергетическое наполнение. По понятиям нашей обыденной жизни «вес» каждого числового значения растет по мере увеличения самой

Из книги Тестирование с помощью Чатуранги автора Шорин Александр

Характеристика цифр Цифра 1 – красный цвет. Точка реальности, основа, стержень всей цифровой надстройки, определяющий Род того или иного течения энергии. Предназначение цифры 1 – определение значения, важности и весомости возникшей реальности. Так в мире бизнеса на

Из книги автора

«Магические доказательства» или «Доказательства магии» «Ты – плохой человек!» Или: «Он – плохой человек» Или: «Он – хороший человек!» Или: «Ты – хороший человек!» Выбирайте! Что Вам более по душе?Не правда ли, смешно наблюдать за «ритуальными зулусскими танцами на

Из книги автора

5.2. Магические квадраты в Чатуранге. Чатуранга как гадание 5.2.1 О магии цифр. Что такое магические квадраты О магии цифр можно рассказывать много. В качестве примера в начале этого исследования мы уже упоминали о цифре 4. Очень многое можно сказать подобным образом о любой

Из книги автора

5.2.2. Магические квадраты в Чатуранге 5.2.2.1 Магия немагического квадрата Любопытно, что самый простой (немагический) квадрат 5?5, где цифры идут просто одна за одной – от 1 до 25 может также обладать необычными свойствами. Так, в этом простом квадрате сумма «Креста Слона»

Данная загадка быстро разлетелась по всему Интернету. Тысячи людей начали задаваться вопросом о том, как работает магический квадрат. Сегодня вы, наконец-то, найдете ответ!

Тайна магического квадрата

На самом деле данная загадка довольно проста и сделана с расчётом на человеческую невнимательность. Давайте разберемся, как работает магический черный квадрат, на реальном примере:

1. Давайте загадаем любое число от 10 до 19. Теперь давайте вычтем из данного числа его составляющие цифры. К примеру, возьмем 11. Отнимем от 11 единицу и после – еще одну единицу. Выйдет 9. На самом деле не важно, какое число от 10 до 19 вы возьмете. Результат вычислений всегда будет 9. Числу 9 в «Магическом Квадрате» соответствует первая цифра с рисунками. Если присмотреться, то можно увидеть, что очень большому количеству цифр присвоены одни и те же рисунки.
2. Что же будет, если взять число в пределах от 20 и до 29? Может, вы уже сами догадались? Правильно! Результатом вычислений всегда будет 18. Цифра 18 соответствует второй позиции на диагонали с рисунками.
3. Если же взять число от 30 до 39, то, как можно уже угадать, выйдет число 27. Число 27 также соответствует цифре на диагонали столь необъяснимого «Магического Квадрата».
4. Подобный алгоритм остается правдивым для любых чисел от 40 до 49, от 50 до 59 и так далее.

То есть выходит, что неважно, какое число вы загадали - «Магический Квадрат» угадает результат, ведь в клетках под номерами 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 и 81 на самом деле находится один и тот же символ.

На самом деле данную загадку можно легко объяснить с помощью простого уравнения:

1. Вообразите любое двухзначное число. В независимости от числа его можно представить в виде x*10+y. Десятки выступают в роли “x”, а единицы в роли “у”.
2. Вычтите из загаданного числа цифры, которые составляют его. Складываем уравнение: (x*10+y)-(x+y)=9*x.
3. Число, которое вышло в результате вычислений должно указывать на определенный символ в таблице.

Не важно, какая цифра будет в роли “x”, так или иначе вы получите символ, у которого номер будет кратный девяти. Для того чтобы убедится в том, что под разными номерами находится один символ, достаточно просто посмотреть на таблицу и на номера 0,9,18,27,45,54,63,72,81 и последующие.

МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а ), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б . В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии , а затем в Японии , где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1 . Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления.

Каждый элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого состоит из n клеток, содержит n 2 клеток и называется квадратом n -го порядка. В большинстве магических квадратов используются первые n последовательных натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n (n 2 + 1)/2. Доказано, что n і 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка – S = 34, 5-го порядка – S = 65.

Две диагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рис. 3). Клетки, симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными. Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.

Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы рассмотрим ниже.

Магические квадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Метод Ф.де ла Ира (1640–1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главной диагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б ). Поклеточная сумма этих двух квадратов (рис. 5,в ) образует магический квадрат. Этот метод используется и при построении квадратов четного порядка.

Если известен способ построения квадратов порядка m и порядка n , то можно построить квадрат порядка m ґ n . Суть этого способа показана на рис. 6. Здесь m = 3 и n = 3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами) строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1ў (центральную клетку верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2ў (правую в нижней строке) вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3ў – квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го порядка. Такие квадраты называются составными.